「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」51頁の§11."換算質量"をフォローします 相互作用する二つの質点からなる系の運動（二体問題）を，慣性中心を原点として中心対称な外場Uの中で運動する質量mの一質点の運動と見做すことができます このm…

空気抵抗を考慮した落体の運動方程式を得るために以下の手順を踏みました 通常のラグランジアンを，抵抗を含んだオイラー・ラグランジュ方程式に代入（その3） 通常のハミルトニアンを，抵抗を含んだハミルトンの正準方程式に代入（その4） 今回は，通常のオ…

前回に続き，落体の運動 その3と同じ空気抵抗を考慮した落体の運動のハミルトニアンを考えます falling body4.wxm x, v, p : それぞれ位置，速度，運動量ベクトル g, m, a : 重力加速度，物体の質量および抵抗係数 %o5で，x, v, p が時間 t に依存することを…

前回に続き，今回は空気抵抗（drag）を考慮した落体の運動を考えます ここで空気抵抗は速度依存型とし，抵抗の大きさを示す定数を a とします falling body3.wxm x, v : 位置ベクトルと速度ベクトル g, m, a : 重力加速度，物体の質量および抵抗係数 %o3で，…

前回に続き，落体の運動 その1と同じ落体の運動のハミルトニアンを考えます falling body2.wxm x, v, p : それぞれ位置，速度，運動量ベクトル g, m : 重力加速度と物体の質量 %o5で，x, v, p が時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略） 運動エ…

一様重力下での自由落下運動，いわゆる落体の運動です 物体を斜め上に放り投げる平面問題を考えます・・・高校物理で御馴染みのヤツですねヽ( ´ー`)ノfalling body1.wxm x, v : 位置ベクトルと速度ベクトル g, m : 重力加速度と物体の質量 %o3で，x と v が…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その7と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます ねじり振動する梁について考えます 単純ねじり変形のみとし，G，J は一定としますhamiltonian7.wxm θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/dt）, ねじり率（∂θ/∂x） ρ : …

以前梁の横振動と縦振動について触れましたが，ねじり振動を忘れていました（'A`) 連続体の梁のラグランジアンについて考えます 単純ねじり変形のみとし，横弾性係数G，断面2次極モーメントJ は一定としますlagrangian7.wxm θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/…

前回の対称性と保存則 その1〜3では，以下の対称性と対応する保存則について個別に触れました これらの対称性はまとめてローレンツ対称性（Lorentz covariance）と呼ばれます 空間の一様性 → 運動量 空間の等方性 → 角運動量 時間の一様性 → エネルギー 系の…

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§6."エネルギー"をフォローします "時間の一様性"からエネルギーの保存則を確認してみます conservation3.wxm L : ラグランジアン x, v : 位置…

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」43頁の§9."角運動量"をフォローします "空間の等方性"から角運動量の保存則を確認してみます conservation2.wxm L : ラグランジアン x, v, p : それ…

対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§7."運動量"をフォローします まずは"空間の一様性"から運動量の保存則を確認してみます （テキストは任意の位置ベクトルを与えていますが，ここでは一軸上の運…

Lの作用として表される汎関数の停留問題を解く際にオイラー・ラグランジュ方程式が使われます 汎関数の第一変分をmaximaで計算しちゃってもいいんですが，便利なんでやっぱり使っちゃいますねー 最小作用の原理等，変分問題として与えられる問題は多いのでと…

Fの作用として表される汎関数の停留問題を解く際にオイラー・ラグランジュ方程式が使われます 特にFがxに陽(explicit)に依存しない問題では，より簡便なベルトラミの公式（Beltrami identity）が使えます （変分法 その3の最速降下曲線を参照） 今回はこのベ…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その6と同じ面外振動する連続体の板のハミルトニアンを考えます 単純曲げ変形のみとし，曲げ剛性D は一定としますhamiltonian6.wxm w, v, n1, n2 : 板のたわみ, 速度（dw/dt）, 曲率（∂2w/∂x2, ∂2w/∂y2） g, γ : 重…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その5と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます 縦振動する梁について考えます 軸変形（伸縮）のみとし，E，A は一定としますhamiltonian5.wxm u, n, v : 梁の軸変位, 軸歪（∂u/∂x）, 速度（du/dt） g, γ : 重力…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その4と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます 横振動する梁について考えます 単純曲げ変形のみとし，E，A，I は一定とします hamiltonian4.wxm y, n, v : 梁のわたみ, 曲率（∂2y/∂x2）, 速度（dy/dt） g, γ : …

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その3と同じ2重平面振子のハミルトニアンを考えます 2つの質点をm1, m2とします 糸l1およびl2が鉛直方向となす角度をそれぞれθ1, θ2[rad]とします hamiltonian3.wxm v1, v2 : 速度(dθ1/dt, dθ2/dt) p1, p2 : 運動量…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その2と同じ単振子のハミルトニアンを考えます 質点の質量をm，糸の長さをlとしますhamiltonian2.wxm θ : 糸の鉛直方向となす角[rad] v : 速度（dθ/dt） p : 運動量（後述します） %o1で，θ, v, pが時間tに依存する…

今回はハミルトニアン（Hamiltonian）のお話です 以前お話したラグランジアンは一般化座標と一般化速度の関数として表されましたが，ハミルトニアンは一般化速度の代わりに一般化運動量を使う感じ？です（´・ω・｀) 解析力学については触れませんのでテキス…

前回に引き続き，今回は面外振動する連続体の板について考えます 単純曲げ変形のみとし，曲げ剛性Dは等方性で一定とします lagrangian6.wxm w, v, n1, n2 : 板のたわみ, 速度（dw/dt）, 曲率（∂2w/∂x2, ∂2w/∂y2） g, γ : 重力加速度, 単位体積重量 %o1で，w,…

前回に引き続き，今回は縦振動する梁について考えます 軸変形（伸縮）のみとし，E，A は一定とします lagrangian5.wxm u, v, n : 梁の軸変位, 速度（du/dt）, 軸歪（∂u/∂x） g, γ : 重力加速度, 単位体積重量 %o1で，u, v, n が位置 x と時間 t に依存するこ…

今回は連続体の梁のラグランジアンについてです 以前質点系のラグランジアンのお話が出ましたが，あれの続きです（´・ω・｀) 横振動する梁について考えます 単純曲げ変形のみとし，E，A，I は一定とします lagrangian4.wxm y, v, n : 梁のわたみ, 速度（dy/d…

「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」31頁の例題【問題1】です これは2重平面振子のラグランジアンを計算せよ，というものです 2つの質点をm1, m2とします 糸l1およびl2が鉛直方向となす角度をθ1, θ2[rad]とします lagrangian3.wxm x1, y1, …

前回に続き，今回は単振子（simple pendulum）を考えます 質点の質量をm，糸の長さをlとします lagrangian2.wxm x, y : 直交座標系による位置 θ : 糸の鉛直方向となす角[rad] v : 速度(dθ/dt) %o1で，x, y, θ, vが時間に依存することを宣言します（画面出力…

今回はラグランジアン（Lagrangian）のお話です 構造力学の問題を解くときに運動方程式を立てますが，この根拠は解析力学（analytical mechanics）によります 解析力学については触れませんのでテキストやWebを参照ください 「ランダウ＝リフシッツ物理学小…