運動方程式とハミルトニアンその1 - Maximaでこうぞうりきがく

今回はハミルトニアン（Hamiltonian）のお話です
以前お話したラグランジアンは一般化座標と一般化速度の関数として表されましたが，ハミルトニアンは一般化速度の代わりに一般化運動量を使う感じ？です（´・ω・｀)
解析力学については触れませんのでテキストやWebを参照ください

運動方程式とラグランジアンその1と同じ単振動を考えます
質点の質量をm，バネ剛性をkとします
hamiltonian1.wxm

x : 位置
v : 速度（dx/dt）
p : 一般化運動量（後述します）
%o1で，x, v, pが時間に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがxとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3で，ハミルトニアンHがxとpに依存することを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーTを%o4式に示します
ポテンシャルエネルギーUを%o5式に示します

ラグランジアンLの定義を%o6式に示します
TとUに%o4, %o5式をそれぞれ代入した結果を%o7式に示します

質点の運動量の定義を%o8式に示します
これに%o6式を代入して偏微分を計算すると%o9式を得ます

ハミルトニアンHはラグランジアンLをルジャンドル変換（Legendre transformation）することで得られます(%o10)
これに%o7, 8式を代入してまとめた結果を%o11式に示します
%o12式より，ハミルトニアンHはこの系全体のエネルギー（ T + U ）に相当することが解ります