運動方程式とハミルトニアン その3

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その3と同じ2重平面振子のハミルトニアンを考えます

• 2つの質点をm1, m2とします
• 糸l1およびl2が鉛直方向となす角度をそれぞれθ1, θ2[rad]とします

hamiltonian3.wxm

v1, v2 : 速度(dθ1/dt, dθ2/dt)
p1, p2 : 運動量（後述します）
%o1で，θ, v, pが時間に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがθとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3で，ハミルトニアンHがθとpに依存することを宣言します（画面出力は省略）
各質点の運動エネルギーT1, T2を%o4, 5式にそれぞれ示します
各質点のポテンシャルエネルギーU1, U2を%o6, 7式にそれぞれ示します
T1, T2, U1, U2が何故このような形になるかは運動方程式とラグランジアン その3を参照下さい

系全体の運動エネルギーTの定義に%o4, 5式をそれぞれ代入した結果を%o8式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUの定義に%o6, 7式をそれぞれ代入した結果を%o9式に示します
系全体のラグランジアンLの定義を%o10式に示します
TとUに%o8, 9式をそれぞれ代入した結果を%o11式に示します

質点1の運動量p1の定義を%o12式に示します
これに%o9式を代入して偏微分を計算した結果を%o13式に示します
同様に，質点2の運動量p2の定義を%o14式, 偏微分を計算した結果を%o15式に示します

ラグランジアンLのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o16式に示します
これに%o11, 13, 15式を代入してまとめた結果を%o17式に示します
%o18式より，ハミルトニアンHはこの系全体のエネルギー（ T + U ）に相当することが解ります

質点1について，ハミルトンの正準方程式を%o19, 20式に示します
右辺を左辺に移項し，Hとpを代入した結果を%o21式に示します
vをdθ/dtで書き直したものを%o22式に示します

同様にして，質点2について%o23〜26式を示します

ということで，2重平面振子の運動方程式が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)