落体の運動 その1

一様重力下での自由落下運動，いわゆる落体の運動です
物体を斜め上に放り投げる平面問題を考えます・・・高校物理で御馴染みのヤツですねヽ( ´ー`)ノ

falling body1.wxm

x, v : 位置ベクトルと速度ベクトル
g, m : 重力加速度と物体の質量
%o3で，x と v が時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーTを%o4式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o5式に示します
ラグランジアンLを%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します（ = 0(零ベクトル)は省略）
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdx/dtで書き直したものを%o9式に示します
ということで，落体の運動方程式（運動の第2法則）が得られます

運動方程式は2階の常微分方程式（ordinary differential equation）になっています
ode2関数を使って%o9式の成分1をx1について解いた結果を%o10式に示します
上式は2つの積分定数％k1, %k2を含んでいます
初期条件（初期配置[0, 0], 初期速度v0, 投射角r[rad]）を与えて解き直した結果を%o11式に示します
同様に，%o9式の成分2をx2について解きます（%o12, %o13）

g = 9.8[m/s2], v0 = 40[m/s]を代入します（%i14, %i15）
この時のxを%o16式に示します
投射角をπ/5, π/4, π/3[rad]としたときの放物線をそれぞれ青線，赤線，紫線として%t18にプロットします（t = 0〜7[s]）

追記
物体が着地（ x2 = 0 ）したときのx1を"飛距離"とします
上の三投の中では r = π/4[rad]（赤線）が最大ですが，実際に飛距離最大となる任意のrはいくらになるか計算してみます
falling body1a.wxm

位置ベクトルxを%o1式に示します
x2 = 0 の方程式を t について解いた結果を%o2式に示します
これをx1に代入して求めた飛距離は%o3式となります
飛距離の停留条件をrについて解いた結果を%o4式に示します
この方程式をrについて解いた結果を%o5式に示します
solve:以下の文言は目に見える解だけが全てではないと我々に警告してくれています，ありがたいことです（'A`)

ということで，飛距離最大とするためには π/4[rad]（45度）の角度で投げる（v0に依存しない）ことが解ります