対称性と保存則 その3

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です
「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§6."エネルギー"をフォローします
"時間の一様性"からエネルギーの保存則を確認してみます
conservation3.wxm

L : ラグランジアン
x, v : 位置および速度
dt : 無限小時間

%o2にてLおよびL'が x, v に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3にてxおよびvが時間tに依存することを宣言します（画面出力は省略）
L'はLに対して時間をdtだけ平行移動したラグランジアンを示します（%o4）
ここで t' = t + dt を代入します（%o5）
L'をLを使って書き直したものを%o6式に示します
dLの定義を%o7式に示します
ラグランジアンが時間変化に対して不変である条件は%o9式と成ります，当たり前ですが（'A`)

オイラー・ラグランジュ方程式を%o10式に示します
%o9式に留意して上式を書き換えます（%o11）
Lを全微分した結果を%o12式に示します
上式を%o9式と%o11式を用いて書き換えます（%o13）

%o13式をtについて不定積分したものを%o14式に示します（%c1は積分定数）
左辺を書き下します（%o15）
上式を運動量pで書き直した%o16式が成り立ちます
左辺はハミルトニアンH（つまり系の全エネルギー）と等しくなります（%o17）

ということで，エネルギーの保存則が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)