前回に続き，運動方程式とラグランジアン その7と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます ねじり振動する梁について考えます 単純ねじり変形のみとし，G，J は一定としますhamiltonian7.wxm θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/dt）, ねじり率（∂θ/∂x） ρ : …

以前梁の横振動と縦振動について触れましたが，ねじり振動を忘れていました（'A`) 連続体の梁のラグランジアンについて考えます 単純ねじり変形のみとし，横弾性係数G，断面2次極モーメントJ は一定としますlagrangian7.wxm θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/…

AutoCADは非常に有名な2D-CADなので，国内でも使っている方は多いと思います ただこのCADは標準で複数のビューの連続印刷に対応していません（'A`) そのため連続印刷を行うアドインやツールが多数公開されていますが，使い易いものはなかなか少ないように思…

前回の対称性と保存則 その1〜3では，以下の対称性と対応する保存則について個別に触れました これらの対称性はまとめてローレンツ対称性（Lorentz covariance）と呼ばれます 空間の一様性 → 運動量 空間の等方性 → 角運動量 時間の一様性 → エネルギー 系の…

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§6."エネルギー"をフォローします "時間の一様性"からエネルギーの保存則を確認してみます conservation3.wxm L : ラグランジアン x, v : 位置…

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」43頁の§9."角運動量"をフォローします "空間の等方性"から角運動量の保存則を確認してみます conservation2.wxm L : ラグランジアン x, v, p : それ…

対称性と保存則についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§7."運動量"をフォローします まずは"空間の一様性"から運動量の保存則を確認してみます （テキストは任意の位置ベクトルを与えていますが，ここでは一軸上の運…

ブログタイトルが長らく仮称扱いでしたが，”Maximaでこうぞうりきがく”に決まりました（'A`)

今回は前回使いはしたが説明はしなかったモンテカルロ法（Monte Carlo method）のお話です モンテカルロ法は乱数を使った数値計算等の総称です 今回はモンテカルロ法を用いた円周率の計算例を示します monte carlo.wxm 半径rの1/4円が収まる正方形を考えます…

前回の重複組み合わせの流れで，今回はモンティ・ホール問題（Monty Hall problem）について触れたいと思います モンティ・ホール問題自体についてはWikipedia等で詳しく解説されています 3つのドア (A, B, C) に（景品, ヤギ, ヤギ）がランダムに入っている…

以前友人から重複組合せ（repeated combination）の質問を受けたので今回はそのお話です あんまり構造力学と関係ないかもですが・・・（´・ω・｀) まずは重複を持たないフツーの順列・組合せについて combination.wxm %o1にてパッケージ"functs"をロードしま…

Lの作用として表される汎関数の停留問題を解く際にオイラー・ラグランジュ方程式が使われます 汎関数の第一変分をmaximaで計算しちゃってもいいんですが，便利なんでやっぱり使っちゃいますねー 最小作用の原理等，変分問題として与えられる問題は多いのでと…

Fの作用として表される汎関数の停留問題を解く際にオイラー・ラグランジュ方程式が使われます 特にFがxに陽(explicit)に依存しない問題では，より簡便なベルトラミの公式（Beltrami identity）が使えます （変分法 その3の最速降下曲線を参照） 今回はこのベ…

以前相対性理論のローレンツ変換の導出についてお話しましたが，今回はその続きです（'A`) 数理科学No.584, 02/2012 37頁にかなり簡潔な導出例が解説されていたのでこれをフォローしたいと思います この方法は庄司彦六編「改稿教養物理学」（内田老鶴圃）198…

前回に引き続き，今回は変分法 その3で扱った【最速降下曲線】を，重み付き残差法を使って計算してみます wrm4.wxm y : 曲線 %o1にてパッケージ"mnewton"をロードします（画面出力は省略） %o3にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） A = -1…

前回に引き続き，今回は変分法 その2で扱った【カテナリー曲線】を，重み付き残差法を使って計算してみます wrm3.wxm y : 曲線 %o1にてパッケージ"mnewton"をロードします（画面出力は省略） %o3にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） a = 1…

変分法 その1で扱った【最短距離問題】を，今回は重み付き残差法を使って計算してみます wrm2.wxm y : 曲線 R : 残差 %o1にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） 被積分関数Fの定義を%o2式に示します 2点A[0, 0]およびB[a, b]を通る境界条件…

今回は，リッツ法 その1の例題をガラーキン法を使って解いてみます（'A`) wrm1_3.wxm R : 残差 汎関数をオイラー・ラグランジュ方程式に代入して常微分方程式を得た所から説明します（%o2） 境界条件を満足する試行関数yを%o3式に示します このyをFの左辺に…

今回は，リッツ法 その1の例題を最小二乗法を使って解いてみます（'A`) wrm1_2.wxm R : 残差 汎関数をオイラー・ラグランジュ方程式に代入して常微分方程式を得た所から説明します（%o2） 境界条件を満足する試行関数yを%o3式に示します このyをFの左辺に代…

重み付き残差法（Weighted Residual method）は変分問題の数値解法の中で特に重要な手法となります 簡単な例題を通して計算の流れを確認していきます 今回は，リッツ法 その1の例題を選点法（collocation method）を使って解いてみます wrm1_1.wxm この辺は…

変分法 その1で扱った【最短距離問題】を，今回はリッツ法を使って計算してみます ritz2.wxm y : 曲線 L : 曲線の距離 %o1にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） 被積分関数Fの定義を%o3式に示します 形式的に書きますが，曲線の距離LはFの…

変分問題の数値解法（Numerical Analysis）について触れてみます この辺のお話は有限要素法のバックボーンになりますのでとっても大事ですー いろんな書籍やサイトで解説されてますので詳しくはそちらで・・・（'A`) 今回はリッツ法（Ritz method）について…

"その2"に引き続き，変分法の計算例のお話です 【最速降下曲線】 重力のみが作用する仮定で，任意の2点A, B（ポテンシャルはA>B）を考えます 物体がA点を速度0で出発してからB点に達するまでの所要時間が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です …

前回に引き続き，変分法の計算例のお話です 【カテナリー曲線】 伸縮せず，均一な重さを持つ紐状のもの（たとえば鎖）を吊り下げたときどんな曲線になるか？という有名な問題です 答えは懸垂曲線またはカテナリー曲線（catenary）です（媒介変数表示でちょっ…

今回は変分法（Calculus of variations）のお話です 変分法とは何か？という難しい話にはあまり触れず，具体的な計算事例を紹介したいと思います 【最短距離問題】 平面上の区間A-Bを結ぶ曲線で，距離が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です （…

連立非線形方程式の数値解をニュートン法を使って探索する場合はパッケージ"mnewton"を使います mnewton.wxm %o1にてパッケージ"mnewton"をロードします（画面出力は省略） %o2にてパッケージ"implicit_plot"をロードします（画面出力は省略） 計算対象の非…

今回はニュートン法をOpenOffice.orgのCalcで利用するためのVBAモジュールについてお話します 基本的にはEXCELのVBAと互換があるんですが，一部使えない関数とかありますので若干修正しています・・・（'A`) newton.ods 【書式】 = newton(expr, a) expr : …

前回お話したニュートン法を，EXCELで利用するためのVBAモジュールについてお話します EXCELにはゴールシーク等数値解を探索するツールもあるんですがちょっと使いにくいので・・・（'A`) newton.xls 【書式】 = newton(expr, a) expr : 数式（文字列） a : …

今回はニュートン法（Newton's method, Newton-Raphson method）のお話です これは非線形方程式を数値的に解く代表的なアルゴリズムです 探索範囲内で対象関数の微分が可能であれば適用できますが，解が得られない場合もある点に注意しましょう（'A`) Maxima…

媒介変数表示のお話です（・ω・） 前回扱った曲面のいくつかを媒介変数（parameter）を使って表現してみたいと思います またwxMaximaには媒介変数表示でグラフを描画する機能もありますのでこれも使ってみます parametric_plot.wxm 【球】 u, v : 媒介変数 %…