以前谷山・志村予想の所で"フェルマーの最終定理"について触れましたが，今日はそのニアミス解についてのお話です サイモンシン著・青木薫訳 数学者たちの楽園 "第3章 ホーマーの最終定理"をフォローします アニメ「ザ・シンプソンズ」≪エバーグリーン・テラ…

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素のFEMを使って以下の例題を解いてみます E，νは要素内で一定かつ等方性とします iso-parametric 4-node sample2.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 J : Nxのヤコビ行列 J_i : Jの逆行列（invert） j : Nxのヤコビ…

今回は4節点アイソパラメトリック要素のFEMを使って以下の例題を解いてみます E，νは要素内で一定かつ等方性としますiso-parametric 4-node sample1.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 J : Nxのヤコビ行列 J_i : Jの逆行列（invert） j : Nxのヤコビアン（det(J…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」156頁の例題【5.19】です単純せん断変形問題において変形が微小（ u ch5-4_5-19.wxm I : 単位テンソル F : 変形勾配テンソル B : 左Cauchy-Green変形テンソル %i1はトレースを計算する関数を使うた…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」155頁の例題【5.18】です 等方性弾性体が単純せん断変形を受ける問題において応力Tを変位uを用いて表せ，というものです ch5-4_5-18.wxm F : 変形勾配テンソル B : 左Cauchy-Green変形テンソル %i1…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」141頁の例題【5.5】です 2つの基準枠 O*, O は時刻t0で一致し，O は時刻tで O* に対し Q(t) だけ回転しています 両基準枠から，運動するある物質点の変形勾配 F*, F を観測した場合 F* = Q.F とな…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」70頁の例題【2.8】です 右極分解の唯一性を, 仮に F = R'.U' と置いて，U' = U および R' = R となることより示せ，というものですch2-4_2-8.wxm F : 変形勾配テンソル U : 右ストレッチテンソル R…

前回に引き続き，今回は変分法 その3で扱った【最速降下曲線】を，重み付き残差法を使って計算してみます wrm4.wxm y : 曲線 %o1にてパッケージ"mnewton"をロードします（画面出力は省略） %o3にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） A = -1…

前回に引き続き，今回は変分法 その2で扱った【カテナリー曲線】を，重み付き残差法を使って計算してみます wrm3.wxm y : 曲線 %o1にてパッケージ"mnewton"をロードします（画面出力は省略） %o3にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） a = 1…

変分法 その1で扱った【最短距離問題】を，今回は重み付き残差法を使って計算してみます wrm2.wxm y : 曲線 R : 残差 %o1にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） 被積分関数Fの定義を%o2式に示します 2点A[0, 0]およびB[a, b]を通る境界条件…

今回は，リッツ法 その1の例題をガラーキン法を使って解いてみます（'A`) wrm1_3.wxm R : 残差 汎関数をオイラー・ラグランジュ方程式に代入して常微分方程式を得た所から説明します（%o2） 境界条件を満足する試行関数yを%o3式に示します このyをFの左辺に…

今回は，リッツ法 その1の例題を最小二乗法を使って解いてみます（'A`) wrm1_2.wxm R : 残差 汎関数をオイラー・ラグランジュ方程式に代入して常微分方程式を得た所から説明します（%o2） 境界条件を満足する試行関数yを%o3式に示します このyをFの左辺に代…

重み付き残差法（Weighted Residual method）は変分問題の数値解法の中で特に重要な手法となります 簡単な例題を通して計算の流れを確認していきます 今回は，リッツ法 その1の例題を選点法（collocation method）を使って解いてみます wrm1_1.wxm この辺は…

変分法 その1で扱った【最短距離問題】を，今回はリッツ法を使って計算してみます ritz2.wxm y : 曲線 L : 曲線の距離 %o1にてyがxに依存することを宣言します（画面出力は省略） 被積分関数Fの定義を%o3式に示します 形式的に書きますが，曲線の距離LはFの…

変分問題の数値解法（Numerical Analysis）について触れてみます この辺のお話は有限要素法のバックボーンになりますのでとっても大事ですー いろんな書籍やサイトで解説されてますので詳しくはそちらで・・・（'A`) 今回はリッツ法（Ritz method）について…

"その2"に引き続き，変分法の計算例のお話です 【最速降下曲線】 重力のみが作用する仮定で，任意の2点A, B（ポテンシャルはA>B）を考えます 物体がA点を速度0で出発してからB点に達するまでの所要時間が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です …

前回に引き続き，変分法の計算例のお話です 【カテナリー曲線】 伸縮せず，均一な重さを持つ紐状のもの（たとえば鎖）を吊り下げたときどんな曲線になるか？という有名な問題です 答えは懸垂曲線またはカテナリー曲線（catenary）です（媒介変数表示でちょっ…

今回は変分法（Calculus of variations）のお話です 変分法とは何か？という難しい話にはあまり触れず，具体的な計算事例を紹介したいと思います 【最短距離問題】 平面上の区間A-Bを結ぶ曲線で，距離が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です （…

最適化（optimization）についてのお話です 坂和正敏著「線形システムの最適化」6頁の例題【1.1】を解いてみます この例題はいわゆる線形計画問題（linear programming, LP）です LPを解くアルゴリズムで代表的なシンプレックス法（simplex method）がMaxima…

前回に引き続き，三角形要素のFEMの例題です triangular sample.wxm U : 全体節点変位ベクトル Ua : 未知の節点変位ベクトル 幾何学的境界条件（%o36〜39）を与えます F : 全体節点荷重ベクトル 力学的境界条件（%o43〜46）を与えます F = K.U の連立方程式…

今回は三角形要素のFEMを使って以下の例題を解いてみます E，νは要素内で一定かつ等方性としますtriangular sample.wxm A : 三角形要素の面積 B : Bマトリックス（歪-変位マトリックス） D : Dマトリックス（応力-歪マトリックス） Ke : 要素剛性マトリック…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」163頁の例題【5.26】です これは非圧縮性超弾性体が単純引張変形を受けた場合の応力テンソルTの成分を表せ，というものです 単位長さの立方体が l まで単純引張変形を受ける問題を考えます ch5-5_5…

久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」162頁の例題【5.25】です これは非圧縮性超弾性体が単純せん断変形を受けた場合の応力テンソルTの成分を表せ，というものです 単位長さの立方体が頂部に u だけ単純せん断変形を受ける問題を考えま…

前回に引き続き，梁要素の例題です beam sample2.wxm 力学的境界条件（%o17〜22）および幾何学的境界条件（%o23〜28）を与えます（画面出力は省略） U : 全体節点変位ベクトル F : 全体節点荷重ベクトル （既知の）F = K.（未知の）Uを連立方程式として，未…

前回に引き続き，梁要素のFEMを使って例題を解いてみます 門型フレーム（portal frame）ですね，これは軸力も入ってきます E，A, I は要素内で一定とします E, A は全要素共通，要素2のIは要素1, 3の2倍とします beam sample2.wxm Ke : 梁の要素剛性マトリッ…

今回は梁要素のFEMを使って例題を解いてみます これくらい手計算で解けよ的な例題ですが，FEMの流れを確認していきましょう（´・ω・｀)E，I は要素内で一定とします beam sample1.wxm U : 全体節点変位成分の配列（画面表示は省略） F : 全体節点荷重成分の…

前回に引き続き，トラス要素の例題です truss sample1.wxm 力学的境界条件（%o14〜16）および幾何学的境界条件（%o17〜19）を与えます（画面出力は省略） U : 全体節点変位ベクトル F : 全体節点荷重ベクトル K.Uの計算結果を%o24式に示します （既知の）F =…

今回はトラス要素のFEMを使って例題を解いてみます 手計算でも解ける程度の簡単な例題ですが，FEMの流れを確認していきましょう（・ω・） E，Aは全要素で共通かつ要素内で一定とします truss sample1.wxm Ke : 全体座標系におけるトラスの要素剛性マトリック…

前回に引き続き，久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」107頁の例題【3.27】です その1で計算したF(t'), D(t')を使ってE(t)とA(t)を計算してみます（'A`)ch3-2_3-27-3.wxm Dt' : 0→t'の変形速度テンソル F_0_t' : t0→t'の変形勾配テンソ…

前回に引き続き，久田俊明著「非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎」107頁の例題【3.27】です 前回計算したF(t'), D(t'), R~(t')を使ってE[S](t)とR~(t).E[S](t).R~(t)^Tを計算してみます（'A`)ch3-2_3-27-2.wxm Dt' : 0→t'の変形速度テンソル R~_0_…