今回はFreeCADでモデル化した4辺単純支持板の固有値解析例を紹介します平板の形状寸法は 短辺長さa=500 mm，長辺長さb=1,000 mm，板厚h=10 mm です 材質はSS400相当としますまずは板理論を使って1次振動モードの固有振動数を計算します frequency_simply-pla…

今回はFreeCADでモデル化した片持ち梁の固有値解析例を紹介します片持ち梁のモデルはFreeCADで片持ち梁の計算（静的応力解析）と全く同様ですまずは梁理論を使って1次振動モードの固有振動数を計算します frequency_cantilever3.wxm 片持ち梁の1次の固有振動…

今回はFreeCADでモデル化した【先端荷重を受ける片持ち梁】の静的応力解析例を紹介します片持ち梁の形状寸法は断面幅B=50 mm，断面深さD=100 mm，梁長さL=1,000 mm です 材質はSS400相当としますまずは梁理論を使って固定端の最大応力と先端のたわみを計算し…

前回の節点自由度の縮約を使って”半剛接接合部を有する梁要素”の導出について説明したいと思います上図のように梁の両端に半剛接回転バネ（@で表示）が二つ接続した構造を考えます バネ要素①の曲げ剛性をKa，要素長さを0とします バネ要素③の曲げ剛性をKb，…

今回は節点自由度の縮約（Condensation）について説明したいと思います上図のように梁の曲げ要素が二つ接続した構造を考えます 要素①の断面2次モーメントをI1、要素長さをr*Lとします 要素②の断面2次モーメントをI2、全体長さをLとします ヤング率はどちらの…

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素のFEMを使って以下の例題を解いてみます E，νは要素内で一定かつ等方性とします iso-parametric 4-node sample2.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 J : Nxのヤコビ行列 J_i : Jの逆行列（invert） j : Nxのヤコビ…

今回は4節点アイソパラメトリック要素のFEMを使って以下の例題を解いてみます E，νは要素内で一定かつ等方性としますiso-parametric 4-node sample1.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 J : Nxのヤコビ行列 J_i : Jの逆行列（invert） j : Nxのヤコビアン（det(J…

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素の説明を行います iso-parametric 4-node4.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 J : Nxのヤコビ行列 J_i : Jの逆行列（invert） j : Nxのヤコビアン（det(J）） 前回導出した形状関数やヤコビアン等を一通り代入しま…

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素の説明を行いますiso-parametric 4-node3.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 d : 変位ベクトル ui, vi : i番目節点の各変位成分 uh : 変位場 前回導出した形状関数や変位場等を一通り代入します（画面出力は省略）…

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素の説明を行いますiso-parametric 4-node2.wxm n : 節点数 NN : 形状関数 xx : 位置ベクトル Nx : 自然座標から実座標への写像変換 前回導出した形状関数を代入します（%o2） 上式でxxを内挿した結果を写像変換…

以前形状関数について触れましたが，有限要素の作成でこの形状関数を用いる際には以下の様に分類されます 変位の内挿関数と同一式とした場合→アイソパラメトリック要素（iso-parametric element） 変位の内挿関数より次元が低い場合→サブパラメトリック要素 …

前回に引き続き，3次元要素の形状関数を求めます shape function4.wxm 【8節点要素】(L) n : 節点数 N : 形状関数 %o1にてパッケージ"draw"をロードします（画面出力は省略） 27節点分の座標成分配列を%i2〜%i4で入力します（画面出力は省略） nに節点数8を…

前回に引き続き，2次元要素の形状関数を求めます shape function3.wxm 【12節点要素】(s) n : 節点数 N : 形状関数 16節点分の座標成分配列を%i1および%i2で入力します（画面出力は省略） nに節点数12を代入します（%o3） 変位uを自然座標r1, r2の関数で仮定…

前回に引き続き，2次元要素の形状関数を求めます shape function2.wxm 【4節点要素】(L) n : 節点数 N : 形状関数 9節点分の座標成分配列を%i1および%i2で入力します（画面出力は省略） nに節点数4を代入します（%o3） 変位uを自然座標r1, r2の関数で仮定し…

変位型の有限要素法では要素を構成する節点の変位で構造物の変形を表しますが，要素内の任意の点における変位は節点変位からの内挿（interpolation）により与えられます この内挿に用いる関数を形状関数（shape function）と呼びます ここでは1次元要素の形…

今回は格子梁（grid beam）のお話です 下図に示す様な，均等分布荷重を受ける格子状に組まれた梁を解いてみます 支持条件は四辺の節点を単純支持とし，対称条件を用いて1/4モデルを計算対象とします 簡単のため，部材長さと断面は各方向でそれぞれ統一します…

テーパーの付いた片持ち梁の先端たわみを計算します 久し振りの構造力学っぽいお話ヽ( ´ー`)ノ 固定端側（x = 0）の断面2次モーメントをI，先端側（x = L）をr*Iとしrの値でテーパー度を表します Eは一定とし，単純曲げ梁理論が成り立つとします tapered bea…

久しぶりに更新しますが，梁理論のお話が続きます（´・ω・｀) 今回は"Timoshenkoの梁理論"でほとんど説明しなかったκ（せん断補正係数）のお話です G.R.Cowperの論文"The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory"の内容をフォローします 座標系はテ…

前回に引き続き，今回は【先端荷重を受ける片持ち梁】を"Timoshenkoの梁理論"を使って解いてみます （エネルギー原理 その6と同じ問題です） ここで E, G, I, A, κ は一定とします beam theory5.wxm P, L : 先端荷重，梁の長さ E, I : ヤング率と断面2次モー…

代表的な梁理論を2つほど説明しましたが，簡単な例題を通して計算の流れを比較してみたいと思います 今回は【先端荷重を受ける片持ち梁】を，"Bernoulli-Eulerの梁理論"を使って解いてみます （エネルギー原理 その6と同じ問題です） ここで E, I は一定とし…

ちょっと間が開いてしまいましたが，前回に引き続き梁理論のお話です"Timoshenkoの梁理論"の導出の際，式の簡素化を優先するために n = da/dx として書き換えました（%o16） これは"Bernoulli-Eulerの梁理論"の%o18式で用いた n = d2y/dx2 とは異なります で…

前回の"Bernoulli-Eulerの梁理論"では，"せん断変形をしない"という強い制約を前提としました 今回はこの制約を少し緩めて，一次のせん断変形を許容する場合の梁理論を考えます beam theory2.wxm 微小歪テンソルELについては前回と同様のため説明を割愛しま…

今回は梁理論（beam theory）のお話です 今までは割と何の説明もなく梁理論を使ってきましたが，ある程度説明に使える材料が揃ってきた感じなのでここで簡単に触れておきます beam theory1.wxm x : 現時刻における物質点の位置ベクトル X : ある基準時刻にお…

前回計算したサンプリング点位置と重み値を使って実際にGauss積分を計算してみます gauss quadrature2.wxm n : サンプリング点の数 x[n][i], w[n][i] : i番目サンプリング点の位置と重み値 Gauss積分の計算式を%o1式に示します 上式から判る様に，数値積分の…

今回はGauss積分のサンプリング点の位置と重み値を計算してみます ここで言うGauss積分は数値積分のことで，Gauss関数exp(-x^2)の無限積分のことではありません（´・ω・｀) 積分区間は写像されることを前提として自然座標系-1〜1とします 久田俊明，野口裕久…

前回計算した重み値を使って実際にNewton-Cotes積分を計算してみます newton-cotes2.wxm n : サンプリング点の数 l : 積分区間長さ x[i], w[n][i] : i番目サンプリング点の位置と重み値 Newton-Cotes積分の計算式を%o1式に示します 上式から判る様に，数値積…

数値積分は解析的に積分することが難しい問題を近似的に解くための大変便利な手法ですヽ( ´ー`)ノ 有限要素法でも剛性マトリックスや等価節点力ベクトルの作成などで多用されます 以前モンテカルロ法で扱った解法も広義の意味で数値積分になります 今回はNew…

構成式のお話が出たついでといっては何ですが，ここで弾性マトリックスについて触れておきたいと思います 応力-歪関係式は一般的に81個の成分を持つ4階のテンソルDを用いて次の形で表されます T[i,j] = D[i,j,k,l].E[k,l] （i, j, k, l はそれぞれ1〜3） 2階…

エネルギー原理のところで，仮想仕事の原理（principle of virtual work）について全然触れてませんでした（´・ω・｀) 仮想仕事の原理とは何か？という話についてはたくさんのサイトや書籍で丁寧に解説されていますのでここでは割愛します・・・で，下記の片…

前回に引き続き，三角形要素のFEMの例題です triangular sample.wxm U : 全体節点変位ベクトル Ua : 未知の節点変位ベクトル 幾何学的境界条件（%o36〜39）を与えます F : 全体節点荷重ベクトル 力学的境界条件（%o43〜46）を与えます F = K.U の連立方程式…