運動方程式とラグランジアン その5

前回に引き続き，今回は縦振動する梁について考えます
軸変形（伸縮）のみとし，E，A は一定とします
lagrangian5.wxm

u, v, n : 梁の軸変位, 速度（du/dt）, 軸歪（∂u/∂x）
g, γ : 重力加速度, 単位体積重量
%o1で，u, v, n が位置 x と時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLが u, v, n に依存することを宣言します（画面出力は省略）
任意断面の運動エネルギーTを%o3式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o4式に示します

ラグランジアンLの定義を%o5式に示します
TとUに%o3, %o4式をそれぞれ代入した結果を%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdu/dtで，nを∂u/∂xで，それぞれ書き直したものを%o9式に示します

ということで，縦振動する連続体の梁の運動方程式が得られます