運動方程式とラグランジアン その2

前回に続き，今回は単振子（simple pendulum）を考えます
質点の質量をm，糸の長さをlとします
lagrangian2.wxm

x, y : 直交座標系による位置
θ : 糸の鉛直方向となす角[rad]
v : 速度(dθ/dt)
%o1で，x, y, θ, vが時間に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがθとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
x, yとθの関係式を%o3, %o4式にそれぞれ示します
x, yを用いて運動エネルギーTを%o5式に示します
%o3, %o4式を使ってTを書き換えます（%o7）
dθ/dt = vとしてTを書き換えます（%o8）

yを用いてポテンシャルエネルギーUを%o9式に示します
%o4式を使ってUを書き換えます（%o10）

ラグランジアンLの定義を%o11式に示します
TとUに%o8, %o10式をそれぞれ代入した結果を%o12式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o13式に示します
上式にLを代入した結果を%o14式に示します
上式をdv/dtについて解いた結果を%o15式に示します
vをdθ/dtで書き直したものを%o16式に示します

ということで，単振子の運動方程式が得られます

θが十分小さければsinθ = θとみなすことができ，単振動の運動方程式と等価となります