運動方程式とラグランジアン その1

今回はラグランジアン（Lagrangian）のお話です
構造力学の問題を解くときに運動方程式を立てますが，この根拠は解析力学（analytical mechanics）によります
解析力学については触れませんのでテキストやWebを参照ください
「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」がお勧めです（・ω・）

単振動を考えます
質点の質量をm，バネ剛性をkとします
lagrangian1.wxm

x : 位置
v : 速度（dx/dt）
%o1で，xとvが時間に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがxとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーTを%o3式に示します
ポテンシャルエネルギーUを%o4式に示します

ラグランジアンLの定義を%o5式に示します
TとUに%o3, %o4式をそれぞれ代入した結果を%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdx/dtで書き直したものを%o9式に示します

ということで，単振動の運動方程式が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)