運動方程式とハミルトニアン その7

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その7と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます
ねじり振動する梁について考えます
単純ねじり変形のみとし，G，J は一定とします

hamiltonian7.wxm

θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/dt）, ねじり率（∂θ/∂x）
ρ : 密度
%o1で，θ, v, n が位置 x と時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLが θ, v, n に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3で，ハミルトニアンHが θ, n, p に依存することを宣言します（画面出力は省略）
任意断面の運動エネルギーTを%o4式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o5式に示します

ラグランジアンLの定義を%o6式に示します
TとUに%o4, 5式をそれぞれ代入した結果を%o7式に示します

運動量pの定義を%o8式に示します
これに%o7式を代入して偏微分を計算した結果を%o9式に示します

ラグランジアンLのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o10式に示します
これに%o7, 9式を代入してまとめた結果を%o11式に示します
%o12式より，ハミルトニアンHはこの系全体のエネルギー（ T + U ）に相当することが解ります

ハミルトンの正準方程式を%o13, 14式に示します
%o14式にHとpを代入した結果を%o15式に示します
右辺を左辺に移項し，vをdθ/dt, nを∂θ/∂xで書き直したものを%o16式に示します

ということで，ねじり振動する連続体の梁の運動方程式が得られます