運動方程式とハミルトニアン その2

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その2と同じ単振子のハミルトニアンを考えます
質点の質量をm，糸の長さをlとします

hamiltonian2.wxm

θ : 糸の鉛直方向となす角[rad]
v : 速度（dθ/dt）
p : 運動量（後述します）
%o1で，θ, v, pが時間tに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがθとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3で，ハミルトニアンHがθとpに依存することを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーTを%o4式に示します
ポテンシャルエネルギーUを%o5式に示します
TおよびUが何故このような形になるかは運動方程式とラグランジアン その2を参照下さい

ラグランジアンLの定義を%o6式に示します
TとUに%o4, %o5式をそれぞれ代入した結果を%o7式に示します

質点の運動量の定義を%o8式に示します
これに%o6式を代入して偏微分を計算すると%o9式を得ます

ラグランジアンLのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o10式に示します
これに%o7, 8式を代入してまとめた結果を%o11式に示します
%o12式より，ハミルトニアンHはこの系全体のエネルギー（ T + U ）に相当することが解ります

ハミルトンの正準方程式を%o13, 14式に示します
%o14式にpとHを代入した結果を%o15式に示します
vをdθ/dtで書き直したものを%o16式に示します

ということで，単振子の運動方程式が得られます

θが十分小さければsinθ = θとみなすことができ，単振動の運動方程式と等価となります