運動方程式とラグランジアン その7

以前梁の横振動と縦振動について触れましたが，ねじり振動を忘れていました（'A`)
連続体の梁のラグランジアンについて考えます
単純ねじり変形のみとし，横弾性係数G，断面2次極モーメントJ は一定とします

lagrangian7.wxm

θ, v, n : 梁のねじり, 速度（dθ/dt）, ねじり率（∂θ/∂x）
ρ : 密度
%o1で，θ, v, n が位置 x と時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLが θ, v, n に依存することを宣言します（画面出力は省略）
任意断面の運動エネルギーTを%o3式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o4式に示します

ラグランジアンLの定義を%o5式に示します
TとUに%o3, %o4式をそれぞれ代入した結果を%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdθ/dtで，nを∂θ/∂xで，それぞれ書き直したものを%o9式に示します

ということで，ねじり振動する連続体の梁の運動方程式が得られます