落体の運動 その5
空気抵抗を考慮した落体の運動方程式を得るために以下の手順を踏みました
今回は，通常のオイラー・ラグランジュ方程式に代入して抵抗を含んだ運動方程式を得る様なラグランジアンについて考えます
falling body5.wxm
x, v, p : それぞれ位置，速度，運動量ベクトル
g, m, a : 重力加速度，物体の質量および抵抗係数
%o4で，x, v, p が時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーT，ポテンシャルエネルギーUをそれぞれ%o5, 6式に示します
ラグランジアンLを%o7式に示します
a = 0とした場合，Lが通常のラグランジアン(L = T - U)に一致します(%o8)
オイラー・ラグランジュ方程式を%o9式に示します（ = 0(零ベクトル)は省略）
上式にLを代入した結果を%o10式に示します
両成分の%e^(a*t)/mを掃います(%o11)
vをdx/dtで書き直したものを%o12式に示します
ということで，空気抵抗を考慮した落体の運動方程式が得られます
同様に，ハミルトニアンについて考えます
運動量ベクトルpの定義より，Ｌのヤコビアンを計算した結果を%o13式に示します
Lのルジャンドル変換をハミルトニアンHとして%o14式に示します
ハミルトンの正準方程式を%o15式に示します（ = 0(零ベクトル)は省略）
上式にHとpを代入してまとめた結果を%o16式に示します
両成分の%e^(a*t)/mを掃います(%o17)
vをdx/dtで書き直したものを%o18式に示します
ということで，同様に空気抵抗を考慮した運動方程式が得られます
