運動方程式とラグランジアン その6

前回に引き続き，今回は面外振動する連続体の板について考えます
単純曲げ変形のみとし，曲げ剛性Dは等方性で一定とします
lagrangian6.wxm

w, v, n1, n2 : 板のたわみ, 速度（dw/dt）, 曲率（∂2w/∂x2, ∂2w/∂y2）
g, γ : 重力加速度, 単位体積重量
%o1で，w, v, n1, n2 が位置 x, y と時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLが w, v, n1, n2 に依存することを宣言します（画面出力は省略）
任意の位置の運動エネルギーTを%o3式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o4式に示します

ラグランジアンLの定義を%o5式に示します
TとUに%o3, %o4式をそれぞれ代入した結果を%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdw/dtで，n1を∂2w/∂x2で，n2を∂2w/∂y2で，それぞれ書き直したものを%o9式に示します

ということで，面外振動する連続体の板の運動方程式が得られます