今回はいくつかの曲面に対してガウス曲率を実際に計算してみます（'A`) curvature4.wxm ガウス曲率Kの算式を%o1式に示します（導出については曲率と曲率半径 その3を参照下さい） 【球】 半径rの球の方程式を%o2式に示します 上式をzについて解いた結果を%o3…

曲率の話が続きます 今回は曲率の計算を，曲線→曲面に拡張してみたいと思います 微分幾何学の話には極力触れず，計算の流れだけ紹介します 空間における曲面z(x, y)について考えます 例によって絵は描きません（'A`) curvature3.wxm %i1にてトレースの計算の…

今回はいくつかの曲線に対して曲率半径と曲率を実際に計算してみます（'A`) curvature2.wxm 曲率半径Rの算式を%o2式に示します（導出については曲率と曲率半径 その1を参照下さい） 【円】 半径rの円の方程式を%o3式に示します 上式をyについて解いた結果を%…

今回は曲率とか曲率半径とかのお話です "曲率"という単語は梁のたわみに関する回（こことかこことか）ですでに何度か使っていましたが説明してませんでした 曲率とは何か？という難しい話にはあまり触れず，計算の流れだけ紹介します 平面における曲線の微小…

物を引張ったとき，引張った方向の歪と直交方向の歪との比をポアソン比（Poisson's ratio）と呼びます すごく材料力学です・・・ 一辺の長さがLの立方体について考えます poisson.wxm u : 1軸方向の変位 ν : ポアソン比 %o3にてL > 0 と仮定します（画面出力…

前回の増大ラグランジュ乗数法は，制約のある非線形最適化問題（NLP）を制約のないNLPに変換して最適解を探索しました いわゆる変換法ですが，これとは異なるアプローチとして 制約のあるNLPを，制約のあるLPに変換してこれを繰り返し解くという手法もありま…

今回は増大ラグランジュ乗数法（augmented Lagrange multiplier method）のお話です これはラグランジュの未定乗数法を不等式制約条件を扱える様に拡張したアルゴリズムとなります 2変数の不等式制約条件下での最小化問題を考えます augmented lagrange mult…

今回は共役勾配法（Conjugate gradient method, CG法）のお話です これも勾配法の仲間で，最急降下法に比べてかなり賢いアルゴリズムとなります 坂和正敏著「非線形システムの最適化 一目的から多目的へ」【5.2】75頁をフォローします 前回と同じ2変数の簡単…

今回は最適勾配法（Optimal gradient method）のお話です これは前回の最急降下法をちょっと賢くしたアルゴリズムとなります 前回と同じ2変数の簡単な最小化問題を考えます optimul gradient.wxm x, y : 設計変数 obj : 評価関数（%o2） J : 勾配ベクトル（%…

制約のある最適化問題のお話が続きましたが，今回はもっと簡単な，制約のない最適化問題のお話です 今回は最急降下法（Steepest descent method）を使ってみます これは勾配法（Gradient method）の仲間で，最もシンプルなアルゴリズムとなります（´・ω・｀)…

今回はラグランジュの未定乗数法（Lagrange multiplier method）についてのお話です これは制約条件のある最適化問題を，制約条件のない問題に変換して解く変換法（transformation method）の仲間です 具体的には未定乗数λを使って等式制約条件gを線形結合し…

最適化（optimization）についてのお話です 坂和正敏著「線形システムの最適化」6頁の例題【1.1】を解いてみます この例題はいわゆる線形計画問題（linear programming, LP）です LPを解くアルゴリズムで代表的なシンプレックス法（simplex method）がMaxima…

前回に引き続き，C言語のFFTプログラムのお話です コンパイラにはBorland C++ Compiler 5.5 (BCC32) を使いました 環境依存する様なものは書いてないので何でコンパイルしても問題ない・・・筈・・・ fft.zip fft.exe プログラム本体 fft.dat 入力データ（テ…

みんな大好きFFTのお話です 以前MaximaのFFT関数を紹介しましたが，そもそもMaximaは数式処理システムなので大量の数値計算は苦手です（´・ω・｀) なので今回はC言語で組んだFFTプログラムを使ってみたいと思います FFT本体のサブルーチンは奥村晴彦著「C言…

今回は最小二乗法（least squares method）のお話をしたいと思いますleast squares.wxm N : サンプルの数 X : サンプルの値の配列 %o3にて，Nに16を代入します 16個のサンプルの値の配列をXに代入します（画面出力は省略） f : n次の多項式近似関数 %o5にて…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その6と同じ面外振動する連続体の板のハミルトニアンを考えます 単純曲げ変形のみとし，曲げ剛性D は一定としますhamiltonian6.wxm w, v, n1, n2 : 板のたわみ, 速度（dw/dt）, 曲率（∂2w/∂x2, ∂2w/∂y2） g, γ : 重…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その5と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます 縦振動する梁について考えます 軸変形（伸縮）のみとし，E，A は一定としますhamiltonian5.wxm u, n, v : 梁の軸変位, 軸歪（∂u/∂x）, 速度（du/dt） g, γ : 重力…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その4と同じ連続体の梁のハミルトニアンを考えます 横振動する梁について考えます 単純曲げ変形のみとし，E，A，I は一定とします hamiltonian4.wxm y, n, v : 梁のわたみ, 曲率（∂2y/∂x2）, 速度（dy/dt） g, γ : …

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その3と同じ2重平面振子のハミルトニアンを考えます 2つの質点をm1, m2とします 糸l1およびl2が鉛直方向となす角度をそれぞれθ1, θ2[rad]とします hamiltonian3.wxm v1, v2 : 速度(dθ1/dt, dθ2/dt) p1, p2 : 運動量…

前回に続き，運動方程式とラグランジアン その2と同じ単振子のハミルトニアンを考えます 質点の質量をm，糸の長さをlとしますhamiltonian2.wxm θ : 糸の鉛直方向となす角[rad] v : 速度（dθ/dt） p : 運動量（後述します） %o1で，θ, v, pが時間tに依存する…

今回はハミルトニアン（Hamiltonian）のお話です 以前お話したラグランジアンは一般化座標と一般化速度の関数として表されましたが，ハミルトニアンは一般化速度の代わりに一般化運動量を使う感じ？です（´・ω・｀) 解析力学については触れませんのでテキス…

FFTについてもう少し・・・ fft6.wxm 固有振動数f0の入力を40[Hz]に変更します(%o8) 固有振動数がf0 = 40[Hz]の正弦波をLoとして%o9式に示します サンプリングデータを確認してみます Lsとサンプリング時刻tで二次元配列Sを作成します(%o11) 元の波形を赤線…

今回はリーケージ対策（anti-leakage）として一般的に使われる窓関数（window function）のお話です fft5.wxm 入力についてはFFT その3とまったく同様のため説明は割愛します（´・ω・｀) 窓関数の中でも代表的なハニング窓（hanning window）の重み関数を%o1…

前回リーケージが生じる原因がサンプリング両端の繋がりが悪いから・・・というお話をしましたが，今回はこれを検証してみます fft4.wxm サンプリング時間Tの入力を5/5.5[s]に変更します(%o5) これはサンプリング元の波形1周期1/5.5[s]の5波分というニュアン…

前回に引き続き，今回は正弦波（単一の周波数成分のみの波形）をサンプリングしてみます fft3.wxm N, n, T : サンプリング数，周波数解像度, サンプリング時間[s] dt, df : サンプリング間隔[s], 周波数分解能[Hz] f0 : サンプリング元の波形の固有振動数[Hz…

前回FFTに使ったサンプルデータについての説明です まずはサンプリング元となる波形を，複数の正弦波を重ね合わせて作成します fft2.wxm n : 正弦波の数 f : 振動数の配列[Hz] a : 振幅の配列 φ : 位相の配列[rad] C : 定数項（振幅） %o1のfpprintprec : 3 …

みんな大好きFFTのお話です FFTとはもちろんﾌｧｲﾅﾙﾌｧﾝﾀｼﾞｰﾀｸﾃｨｸｽ・・・のことではなく，高速フーリエ変換（Fast Fourier Transform）を指します 原理やアルゴリズムはともかくとして，高速にDFTを行ってくれるすごいヤツです MaximaにもFFTのパッケージがあり…

特殊相対性理論の話題として，あと二つほど触れておきたいと思います special relativity5.wxm 【タキオン】 v : 粒子の相対速度 c : 真空中の光の速度 m : 静止質量 m*c^2 : 静止エネルギー 相対速度vで運動する自由粒子の相対論的エネルギーEは%o2式で表さ…

相対論的力学（relativistic dynamics）についてのお話です 「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」208頁の§39."エネルギーと運動量"をフォローします 自由粒子の作用積分について考えます （テキストは任意の速度ベクトルを与えていますが，…

ローレンツ変換についてもう少し・・・ special relativity3.wxm c : 真空中の光の速度 v : K系とK'系との相対速度 s = [t, x, y, z] : K系の4次元座標 s' = [t', x', y', z'] : K'系の4次元座標 %o4〜7式にてローレンツ変換を示します（相対性理論 その3の%…