運動方程式とラグランジアン その4

今回は連続体の梁のラグランジアンについてです
以前質点系のラグランジアンのお話が出ましたが，あれの続きです（´・ω・｀)
横振動する梁について考えます
単純曲げ変形のみとし，E，A，I は一定とします
lagrangian4.wxm

y, v, n : 梁のわたみ, 速度（dy/dt）, 曲率（∂2y/∂x2）
g, γ : 重力加速度, 単位体積重量
%o1で，y, v, n が位置 x と時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLが y, v, n に依存することを宣言します（画面出力は省略）
任意断面の運動エネルギーTを%o3式に示します
同じくポテンシャルエネルギーUを%o4式に示します

ラグランジアンLの定義を%o5式に示します
TとUに%o3, %o4式をそれぞれ代入した結果を%o6式に示します

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o7式に示します
上式にLを代入した結果を%o8式に示します
vをdy/dtで，nを∂2y/∂x2で，それぞれ書き直したものを%o9式に示します

ということで，横振動する連続体の梁の運動方程式が得られます