対称性と保存則 その2

前回に引き続き，対称性と保存則についてのお話です
「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」43頁の§9."角運動量"をフォローします
"空間の等方性"から角運動量の保存則を確認してみます
conservation2.wxm

L : ラグランジアン
x, v, p : それぞれ，位置・速度および運動量ベクトル
dr : 無限小回転ベクトル
%o5にてLおよびL'がxとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o6にてxとvおよびpが時間tに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o7にてベクトルの外積を返す関数crossを定義します（画面出力は省略）
x3軸周りにdr3[rad]回転される無限小回転ベクトルdrを%o8式に示します
dx, dvは外積を用いて%o9, %o10式で表されます

L'はLに対して座標系をdrだけ回転したラグランジアンを示します（%o11）
ここで x' = x + dx および v' = v + dv を代入します（%o12）
L'をLを使って書き直したものを%o13式に示します
上式の偏微分を計算した結果を%o14式に示します
dLの定義を%o15式に示します
ラグランジアンが回転に対して不変である条件は%o16式と成ります

オイラー・ラグランジュ方程式を%o17式に示します
上式の偏微分を計算した結果を%o19式に示します
上式を用いて%o16式を書き換えます（%o22）

%o22式をまとめたものが%o23式となります・・・ほんとです（'A`)
%o23式の左辺の偏微分を計算したものと%o22の左辺が等しいことを確認します（%o27）

%o23式をtについて不定積分したものを%o28式に示します（%c1は積分定数）
左辺を書き下します（%o29）
任意のdrについて，上式を成分表示で書き直した%o30式が成り立ちます

ということで，角運動量の保存則が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)