対称性と保存則 その1

対称性と保存則についてのお話です
「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」34頁の§7."運動量"をフォローします
まずは"空間の一様性"から運動量の保存則を確認してみます
（テキストは任意の位置ベクトルを与えていますが，ここでは一軸上の運動とします）
conservation1.wxm

L : ラグランジアン
x, v : 位置および速度
dx, dv : 無限小変位および無限小速度
%o2にてLおよびL'がxとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o3にてxとvおよびdxが時間tに依存することを宣言します（画面出力は省略）
L'はLに対して座標系をdxだけ平行移動したラグランジアンを示します（%o4）
ここで x' = x + dx および v' = v + dv を代入します（%o5）
L'をLを使って書き直したものを%o6式に示します
dLの定義を%o7式に示します
ラグランジアンが平行移動に対して不変である条件は%o8式と成ります

オイラー・ラグランジュ方程式を%o9式に示します
上式を用いて%o8式を書き換えます（%o10）
偏微分を計算してまとめた結果を%o11式に示します
dvをdxで書き換えます（%o12）
上式をまとまたものが%o13式となります・・・ほんとです（'A`)
%o13式の左辺の偏微分を計算したものと%o12の左辺が等しいことを確認します（%o15）

%o13式をtについて不定積分したものを%o16式に示します（%c1は積分定数）
左辺を書き下します（%o17）
任意のdxについて，上式を運動量pで書き直した%o18式が成り立ちます

ということで，運動量の保存則が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)