運動方程式とラグランジアン その3

「ランダウ＝リフシッツ物理学小教程 力学・場の理論」31頁の例題【問題1】です
これは2重平面振子のラグランジアンを計算せよ，というものです

• 2つの質点をm1, m2とします
• 糸l1およびl2が鉛直方向となす角度をθ1, θ2[rad]とします

lagrangian3.wxm

x1, y1, x2, y2 : 直交座標系によるm1, m2それぞれの位置
v1, v2 : 速度(dθ1/dt, dθ2/dt)
%o1で，x, y, θ, vが時間に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o2で，ラグランジアンLがθとvに依存することを宣言します（画面出力は省略）
x1, y1とθ1の関係式を%o3, %o4式にそれぞれ示します
x1, y1を用いてm1の運動エネルギーT1を%o5式に示します
%o3, %o4式を使ってT1を書き換えます（%o7）
dθ1/dt = v1としてT1を書き換えます（%o8）

x2, y2とθ2の関係式を%o9, %o10式にそれぞれ示します
x2, y2を用いてm2の運動エネルギーT2を%o11式に示します
%o9, %o10式を使ってT2を書き換えます（%o13）
dθ2/dt = v2としてT2を書き換えます（%o14）

y1を用いてm1のポテンシャルエネルギーU1を%o15式に示します
%o4式を使ってU1を書き換えます（%o16）

y2を用いてm2のポテンシャルエネルギーU2を%o17式に示します
%o10式を使ってU2を書き換えます（%o18）

ラグランジアンLの定義を%o19式に示します
エネルギーの加法性より T = T1 + T2, U = U1 + U2 として上式を書き直します(%o20)
T1, T2, U1, U2 に%o8, %o14, %o16, %o18式をそれぞれ代入した結果を%o21式に示します

問題はラグランジアンを求めよ，ということで以上で終わりなんですが
せっかくなので運動方程式まで出してみましょー

最小作用の原理より求まるオイラー・ラグランジュ方程式を%o22式に示します
上式にLを代入した結果を%o23式に示します
vをdθ/dtで書き直したものを%o24式に示します

同様にして，%o25〜27式を示します

ということで，2重平面振子の運動方程式が得られます

力学・場の理論―ランダウ=リフシッツ物理学小教程 (ちくま学芸文庫)