4節点アイソパラメトリック要素その1 - Maximaでこうぞうりきがく

以前形状関数について触れましたが，有限要素の作成でこの形状関数を用いる際には以下の様に分類されます

変位の内挿関数と同一式とした場合→アイソパラメトリック要素（iso-parametric element）
変位の内挿関数より次元が低い場合→サブパラメトリック要素
変位の内挿関数より次元が高い場合→スーパーパラメトリック要素

今回はアイソパラメトリック要素について説明します

iso-parametric 4-node1.wxm

n : 節点数
N : 形状関数
ui, vi : i番目節点の各変位成分
%i1にて節点数nに4を代入します(画面出力は省略)
4節点要素の形状関数を%o2に示します（2次元要素の形状関数その1を参照ください）
d1にu1〜u4のリストを代入します(%o4)
d2にv1〜v4のリストを代入します(%o7)

d : 変位ベクトル
NN : 形状関数
uh : 変位場
d1, d2を一纏めにした変位ベクトルをdに代入します(%o9)
d1, d2を個別にNで補間し，dについて纏めたものをNNとして%o12式に示します
上式でdを内挿した結果を変位場uhとして%o13式に示します
各節点の変位成分ui, vi（i = 1〜4）と自然座標r1, r2の関数となっていることが解ります

変位場を具体的に計算してみます
変形前の自然座標r1，r2を%i15, %i16で代入します(画面出力は省略)
変形後の自然座標r1'，r2'を%i17, %i18で代入します(画面出力は省略)
変形前の節点を青点で，変形後の節点を赤丸でそれぞれ%t21にプロットします

u, v : 各方向の変位
%i22にてパッケージ"plotdf"をロードします(画面出力は省略)
自然座標系r→r'の変位としてu, vをぞれぞれ計算します(%o23, 24)
r1をx，r2をyとして求めた変位場を%o25式に示します
上式をplotdfコマンドを使ってプロットします（r1, r2ともに無次元化されてます）