梁理論 その6

久しぶりに更新しますが，梁理論のお話が続きます（´・ω・｀)

今回は"Timoshenkoの梁理論"でほとんど説明しなかったκ（せん断補正係数）のお話です
G.R.Cowperの論文"The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory"の内容をフォローします
座標系はテキストに合わせて梁断面の深さ方向，幅方向，梁長さ方向をそれぞれx, y, zとします
対象とする梁は線形等方性弾性体，断面は2a*2bの矩形断面とします
beam theory6.wxm

κ : せん断補正係数
ν : ポアソン比
Timoshenkoの梁理論と3次元弾性論より，κは%o1式で与えられます

断面積Aの定義を%o2式に，積分計算の結果を%o3式に示します

y軸まわりの断面2次モーメントIの定義を%o4式に，積分計算の結果を%o5式に示します

x軸まわりの断面2次モーメントI1の定義を%o6式に，積分計算の結果を%o7式に示します

矩形断面の境界条件を満足する調和関数χはLoveにより%o8式で与えられます
上式は m = inf とする所ですが，ここでは m = 1 として計算を進めます（%o9）

νに適当な値（0.3）を入れてχを%t11にプロットします（x, yはそれぞれ無次元化しています）

%o9式を%o1式に代入してまとめた結果を%o12式に示します
κが矩形断面の寸法やアスペクト比に依存せず，材料特性であるνのみの関数となっていることが解ります

• ν= 0 とした場合，κ = 5/6 となり，Roarkの値と一致します（%o13）
• ν= 0.3 とした場合，κ ≒ 0.85 となります（%o14）
• ν= 1/2 とした場合，κ = 6/7 となり，Goodmanの値と一致します（%o15）