梁理論その5 - Maximaでこうぞうりきがく

前回に引き続き，今回は【先端荷重を受ける片持ち梁】を"Timoshenkoの梁理論"を使って解いてみます
（エネルギー原理その6と同じ問題です）

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ここで E, G, I, A, κ は一定とします
beam theory5.wxm

P, L : 先端荷重，梁の長さ
E, I : ヤング率と断面2次モーメント
%i1で，たわみyとたわみ角aが位置xに依存することを宣言します（画面出力は省略）
梁の先端からxの位置における曲げモーメントMとせん断力Qを%o2および%o3式にそれぞれ示します
梁理論より，%o4式が成り立ちます
ode2関数を使ってこの1階の常微分方程式を解きます（%o5）
ic2関数を使って境界条件（x=L→a=0）を与え，積分定数%cを解いた結果を%o6式に示します

G, A : 横弾性係数と断面積
κ : せん断補正係数
梁理論より，%o7式が成り立ちます
上式に%o6式を代入して dy/dx について解いた結果を%o9式に示します
ode2関数を使ってこの1階の常微分方程式を解きます（%o10）
ic2関数を使って境界条件（x=L→y=0）を与え，積分定数%cを解いた結果を%o12式に示します
先端（x = 0）におけるたわみ（%o13）では，右辺第2項がせん断変形を表します

U : 任意断面の歪エネルギー
U[total] : 梁全体の歪エネルギー
%o6式でaが，%o12式でyが求まりましたので，n = da/dx，r = dy/dx - a をそれぞれ計算します（%o14, 15）
位置xの断面における歪エネルギーUを求めます（%o16）
上式を梁の長さにわたって積分した結果をU[total]として%o18式に示します

パラメータに適当な値（P=1, L=1, E=1, I=1, A=1, κ=1）を入れてグラフを描いてみます(%o19〜24)（画面出力は省略）
MおよびQの分布図については前回とまったく同様のため説明を割愛します（´・ω・｀)
たわみyがGを含んだ表現になっていることが解ります(%o26)
Gを100とした時のyを青線，10を赤線，1を紫線として，分布図を%t30に合わせてプロットします