梁理論 その2

前回の"Bernoulli-Eulerの梁理論"では，"せん断変形をしない"という強い制約を前提としました
今回はこの制約を少し緩めて，一次のせん断変形を許容する場合の梁理論を考えます
beam theory2.wxm

微小歪テンソルELについては前回と同様のため説明を割愛します

a : 断面の回転角
添字1を梁の軸方向，2, 3を断面方向として，3軸周りに曲げられる梁の断面を考えます
平面保持の仮定より%o3式を与えます（前回の%o7式を踏まえて"-"を付けています）
断面形状保持の仮定より%o4および%o5式を与えます
%o3〜%o5式を用いてELを書き換えます（%o6）
中立軸に対する断面の直交性は保たれていないことが解ります
これらの諸仮定を，"ティモシェンコ梁理論"（Timoshenko's beam theory）と呼びます

例によって微小変形が成り立つので，X[i]をx[i]（特に軸方向の位置を示すX1は添字無し）とします（%o7）
ここでせん断歪成分は工学的せん断歪とし，歪ベクトルeに並べ替えたものを%o8式に示します（フォークト表記）
また a(x) が dy/dx に等しければ，"Bernoulli-Eulerの梁理論"に一致することが解ります

E, ν : ヤング率，ポアソン比
線形等方性弾性体の弾性マトリックスDについても前回と同様のため説明を割愛します（%o11）

横弾性係数GはEとνを用いて%o12式で表されます（フックの法則の%o23式を参照ください）
このGとν^2 = 0 の条件を用いて書き換えた D を%o14式に示します
弾性論より，断面の1点における歪エネルギーu は%o15式で与えられます

U1 : 任意断面の曲げ変形による歪エネルギー
I : 断面2次モーメント
断面の1点における曲げ変形による歪エネルギーは%o15式第2項より%o16式で与えられます（da/dx を n で書き換えます）
形式的に書きますが，上式を任意の断面について積分します（%o17）
Eは断面内で一定とし，断面2次モーメントの定義から U1 は%o18式となります

U2 : 任意断面のせん断変形による歪エネルギー
A : 断面積
κ : せん断補正係数（梁理論 その6参照）
断面の1点におけるせん断変形による歪エネルギーは%o15式第1項より%o19式で与えられます（dy/dx - a(x) を r で書き換えます）
形式的に書きますが，上式を任意の断面について積分します（%o20）
Gは断面内で一定とし，断面積の定義から U2 は%o21式となります

U : 任意断面の歪エネルギー
U = U1 + U2より%o22式を得ます

ということで，U を梁の全長にわたって積分すれば梁全体の歪エネルギーとなります
（梁の長さ方向について E, G, I, A，κ が一定であれば，結局∫n^2 dx, ∫r^2 dx を計算するだけの問題となります）