4節点アイソパラメトリック要素 その4

前回に引き続き，4節点アイソパラメトリック要素の説明を行います
iso-parametric 4-node4.wxm

n : 節点数
NN : 形状関数
J : Nxのヤコビ行列
J_i : Jの逆行列（invert）
j : Nxのヤコビアン（det(J））
前回導出した形状関数やヤコビアン等を一通り代入します（画面出力は省略）

d : 変位ベクトル
uh : 変位場
dを内挿した結果を変位場uhとして%o8式に示します

D : Dマトリックス
平面応力問題のDマトリックスを%o9式に示します（弾性マトリックスを参照ください）

それでは具体的な形状を想定して要素剛性マトリックスを計算してみます

E11, E22 : 垂直歪
E12 : せん断歪
B : Bマトリックス
幅L，高さH→hとテーパーの付いた平板を考えます
節点1を原点として節点座標を適当に入力します（%o11, 12）（画面出力は省略）
変位場の計算にJの逆行列を用いて実座標系における歪成分をそれぞれ求めます（%o13〜15）（画面出力は省略）
これらをdについて纏めたものをBマトリックスとして%o16式に示します
各成分が要素形状L, H, hと自然座標rの関数となっていることが解かります

Ke : 要素剛性マトリックス
ここで要素剛性マトリックスの計算は j*B^T.D.B を自然座標系における多重積分の形で求めます（%o17）
上式の多重積分を計算した結果が長すぎて画面出力が省略されています（´・ω・｀)
要素剛性マトリックスの1行1列および1行2列の2成分を表示します（%o19,20）

要素形状をもう少し簡単にして幅L，高さHの矩形平板の場合を考えます
同様にして節点座標を適当に入力します（%o21,22）
Bマトリックスを再評価した結果を%o23式に示します

同様にして多重積分を計算した結果を要素剛性マトリックスとして%o31式に示します
（1節点につき並進2自由度x4節点なので 8x8 の正方行列となります）

要素剛性マトリックスKeは対称となります（%o32）