変分法その2 - Maximaでこうぞうりきがく

前回に引き続き，変分法の計算例のお話です

【カテナリー曲線】
伸縮せず，均一な重さを持つ紐状のもの（たとえば鎖）を吊り下げたときどんな曲線になるか？という有名な問題です
答えは懸垂曲線またはカテナリー曲線（catenary）です（媒介変数表示でちょっと触れました）
catenary.wxm

y : 曲線
y' : dy/dx
ds : 線素（line element）の長さ
g, m : 重力加速度と曲線の単位長さ質量
U : 曲線のポテンシャルエネルギー
%o2にてyとy'がxに依存することを宣言します（画面出力は省略）
曲線yの線素dsの長さを%o3式に示します
被積分関数Fの定義を%o4式に示します
形式的に書きますが，曲線のポテンシャルエネルギーUはFの作用（区間A-Bの積分）として%o5式で与えられます
この汎関数Uを最小化する（Uの第一変分δU = 0 を満足する）yを求める問題ということになります

Fの作用を最小化する問題かつFがxに陽(explicit)に依存しないのでベルトラミの公式（Beltrami identity）が使えます(%o6)
Fを%o6式に代入して偏微分を計算し，ついでにy'も書き直した結果を%o8式に示します
左辺の分母を払い，両辺をxで1回微分し，d2y/dx2について解いた結果%o9式を得ます
この2階の常微分方程式をode2関数を使って解いた結果を%o10式に示します（%k1, %k2は積分定数）