変分法その1 - Maximaでこうぞうりきがく

今回は変分法（Calculus of variations）のお話です
変分法とは何か？という難しい話にはあまり触れず，具体的な計算事例を紹介したいと思います

【最短距離問題】
平面上の区間A-Bを結ぶ曲線で，距離が最短となるのはどんな曲線か？という有名な問題です
（答えはもちろん”直線”ですが，これを変分法で計算します）
shortest length.wxm

y : 曲線
y' : dy/dx
ds : 線素（line element）の長さ
L : 曲線の距離
%o2にてyとy'がxに依存することを宣言します（画面出力は省略）
曲線yの線素dsの長さを%o3式に示します
被積分関数Fの定義を%o4式に示します
形式的に書きますが，曲線の距離LはFの作用（区間A-Bの積分）として%o5式で与えられます
ここでLは関数y(x)の汎関数（functional）といい，L[y(x)]と表現します
このLを最小化する（Lの第一変分δL = 0 を満足する）yを求める問題ということになります

Fの作用を最小化する問題なので，オイラー・ラグランジュ方程式が使えます(%o6)
（運動方程式とラグランジアンで散々使った例のアレです）
被積分関数Fを%o6式に代入して偏微分を計算した結果を%o8式に示します（%c1は積分定数）
y'について解いた結果を%o9式に示します
右辺を見るとconst.なので，右辺全体を%c1と書き直し，ついでにy'も書き直した結果%o10式を得ます
ものすっごい簡単な1階の常微分方程式なんですが，一応ode2関数を使って解いた結果を%o11式に示します（%cも積分定数）