リッツ法 その1

変分問題の数値解法（Numerical Analysis）について触れてみます
この辺のお話は有限要素法のバックボーンになりますのでとっても大事ですー
いろんな書籍やサイトで解説されてますので詳しくはそちらで・・・（'A`)

今回はリッツ法（Ritz method）について，簡単な例題を通して計算の流れを確認していきます
ritz1.wxm

y : 曲線
y' : dy/dx
I : 汎関数
%o2にてyとy'がxに依存することを宣言します（画面出力は省略）
被積分関数Fを%o3式に示します
形式的に書きますが，汎関数IはFの作用（区間0〜1の積分）として%o4式で与えられます
このIを最小化する（δI = 0 を満足する）yを求める問題を考えます

まず変分法を使ってフツーに解きましょう
Fの作用を最小化する問題なので，オイラー・ラグランジュ方程式が使えます(%o5)
被積分関数Fを%o5式に代入して偏微分を計算し，ついでにy'も書き直した結果を%o7式に示します
この2階の常微分方程式をode2関数を使って解いた結果を%o8式に示します（%k1, %k2は積分定数）
2点[0, 0]および[1, 0]を通る境界条件より，%o9式を得ます

それでは，この問題をRitz法を使って解いてみます

境界条件を満足する試行関数（trial function）を%o10式に示します
この試行関数yを使って計算したFを%o11式に示します
このFを使って計算したIを%o12式に示します
Iの停留条件を%o13, %o14式に示します
上2式を連立一次方程式として未定係数c[1], c[2]について解いた結果を%o15式に示します
上の結果よりyは%o16式となります

Ritz法による解yを青線，変分法による解yoを赤線として%o17にプロットします