重み付き残差法 その1

重み付き残差法（Weighted Residual method）は変分問題の数値解法の中で特に重要な手法となります
簡単な例題を通して計算の流れを確認していきます

今回は，リッツ法 その1の例題を選点法（collocation method）を使って解いてみます
wrm1_1.wxm

この辺はリッツ法 その1とまったく同様のため説明は割愛します（´・ω・｀)

R : 残差
Fの作用を最小化する問題なので，オイラー・ラグランジュ方程式が使えます(%o5)
被積分関数Fを%o5式に代入して偏微分を計算します(%o5)
y'を書き直した結果（%o7式）がこの問題の支配方程式となります
境界条件を満足する試行関数yを%o8式に示します
このyをFの左辺に代入し，展開した結果を残差Rとして%o9式に示します

Rが常に0であれば当然支配方程式を満足しますが，そのようなyが必ず見つかるとも限りません
そこでRに適当な重み関数（weighting function）をかけ，区間[0〜1]で積分した”重み付き残差”を停留させるyを求めます

重み関数にディラックのデルタ関数（Dirac's delta）を使う手法を特に選点法（collocation method）と呼びます
x=1/3とx=1/2における重み付き残差の停留条件を%o10, %o11式に示します
上2式を連立方程式として未定係数c[1], c[2]について解いた結果を%o12式に示します
上の結果よりyは%o13式となります

選点法による解yを青線，変分法による解を赤線としてそれぞれ%t14にプロットします