梁要素のFEM例題 その1

今回は梁要素のFEMを使って例題を解いてみます
これくらい手計算で解けよ的な例題ですが，FEMの流れを確認していきましょう（´・ω・｀)

E，I は要素内で一定とします
beam sample1.wxm

U : 全体節点変位成分の配列（画面表示は省略）
F : 全体節点荷重成分の配列（画面表示は省略）
K : 全体剛性マトリックス
例題は梁一本のみで，全体座標系も要素座標系と一致してますので要素剛性マトリックスがそのまま全体剛性マトリックスとなります(%o3)
%o3式の導出については"梁要素の要素剛性マトリックス"を参照ください
（例題は微小変形だと軸力は生じないので曲げ変形のみのKを使用します）

力学的境界条件（%o4, 5）および幾何学的境界条件（%o6, 7）を与えます（画面出力は省略）

U : 全体節点変位ベクトル
F : 全体節点荷重ベクトル
（既知の）F = K.（未知の）Uを連立方程式として，未知のUについて解いた結果を%o12式に示します
（globalsolve:trueの宣言により，解は変数に代入されます）

%o12式の結果を使って未知のF（反力）を計算します（%o13, %o14）

B : 歪-変位マトリックス
σx : 垂直応力
%i15ではplotdfを使うためのパッケージをロードします
B，Uを使って計算した梁要素の垂直応力を%o17式に示します
上式より，垂直応力成分は要素座標（x, y）の関数となります

垂直応力をplotdfコマンドを使ってプロットします（x, y方向とも無次元化してます）

• 断面中心（y = 0）で垂直応力が0となります
• 曲げモーメントMは左端（x = 0）で最大，右端（x = L）で0となります
• 梁要素にはせん断力が作用しますので当然せん断応力も生じますが，これについては別の機会で（´-`）.｡oO

余談ですが，plotdfはXMaximaを要求します
wxMaximaインストール時にXMaximaを入れてないと動作しないのでご注意下さい