相対性理論その6 （タキオン&光円錐） - Maximaでこうぞうりきがく

特殊相対性理論の話題として，あと二つほど触れておきたいと思います
special relativity5.wxm
【タキオン】

v : 粒子の相対速度
c : 真空中の光の速度
m : 静止質量
m*c^2 : 静止エネルギー
相対速度vで運動する自由粒子の相対論的エネルギーEは%o2式で表されます（相対性理論その5参照）
いま横軸をcで無次元化したv，縦軸をm*c^2で無次元化したEとして%t5にプロットします

青線は（正の実数の）静止質量を持つ粒子を表します

v = 0 でE/(m*c^2) = 1となる（静止エネルギー）
どんなに加速してもcには達しない
エネルギーを失うにつれて減速する

一方，赤線は虚数の静止質量を持つ粒子を表します

どんなに減速してもcには達しない
エネルギーを失うにつれて加速する

このような粒子をタキオン（tachyon）と呼びます
ちなみにタキオンは仮想上概念上のもので，観測はされていません
SF作品にしばしば登場します（スタートレックとか宇宙戦艦ヤマトとか）

【光円錐】

4次元座標sを%o6式に示します
sの原点から出発した光子の位置をsとすると%o7式を満足します（光の球面波）
上式を変形すると%o8式となります
変数が4つだとプロットできないので，z = 0 として変数を1個減らします(%o9)
これで ct, x, y の3変数の方程式となるのでグラフによる可視化が可能です
gnuplotによる描画例を示します
（wxMaximaをインストールするとgnuplotも一緒にインストールされます）

set size ratio 1
set ticslevel 0
set isosamples 80,80
set zlabel "time"
splot [-1:1] [-1:1] [-1:1] -(sqrt(y**2+x**2)) title "past  ", sqrt(y**2+x**2) title "future"

縦軸を時間（ct），これに直交する面を空間（x, y）としてプロットすると上のような2組の円錐となります
これを光円錐（light cone）と呼びます