曲率と曲率半径 その4

今回はいくつかの曲面に対してガウス曲率を実際に計算してみます（'A`)
curvature4.wxm

ガウス曲率Kの算式を%o1式に示します（導出については曲率と曲率半径 その3を参照下さい）

【球】

半径rの球の方程式を%o2式に示します
上式をzについて解いた結果を%o3式に示します
下半分の半球について計算したガウス曲率Kを%o4式に示します（当然ですが 1/r^2 一定となります）

【正弦波柱面】

x方向に1Hzの固有振動数の正弦波形となる関数を%o5式に示します
上式を，x軸，y軸それぞれ-1〜+1の範囲で%t6にプロットします
%o7より，ガウス曲率Kは恒等的に 0 となることが解ります

【円錐】

円錐の関数を%o8式に示します
上式を，x軸，y軸それぞれ-1〜+1の範囲で%t9にプロットします
%o10より，ガウス曲率Kは恒等的に 0 となることが解ります

【指数関数】

指数関数を%o11式に示します
上式を，x軸，y軸それぞれ-4〜+4の範囲で%t12にプロットします
%o13より，ガウス曲率Kは恒等的に 0 となることが解ります

ガウス曲率が常に 0 となる曲面をいくつか例示しました
これは主曲率k1・k2の少なくとも一方が 0 となることを意味します
感覚的な表現をすると，"紙"（曲げ変形はするが中立面は伸縮しない）でしわを作ることなく作成できる曲面ということになります
このような曲面を可展面（developable surface）あるいは可展的（developable）と呼びます