曲率と曲率半径 その3

曲率の話が続きます
今回は曲率の計算を，曲線→曲面に拡張してみたいと思います
微分幾何学の話には極力触れず，計算の流れだけ紹介します

• 空間における曲面z(x, y)について考えます
• 例によって絵は描きません（'A`)

curvature3.wxm

%i1にてトレースの計算のためパッケージ"nchrpl"をロードします（画面出力は省略）
%i2にてzがx, yに依存することを宣言します（画面出力は省略）
%i3にてベクトル同士の外積を返す関数crossを定義します（画面出力は省略）
%i4にてベクトルのノルムを返す関数normを定義します（画面出力は省略）
今，曲面上の任意の位置ベクトルをfとして%o5式にて定義します
fに対するx, yの偏微分をfx, fy, fxx, fxy, fyyとしてそれぞれ%o6〜%o10式に示します

唐突ですが，fx, fyを用いてマトリックスXを%o11式で定義します
曲面の法線ベクトルをfxとfyの外積で定義します（%o12）
これを正規化した単位法線ベクトル n を%o13式に示します
fxx, fxy, fyy, n を用いてマトリックスYを%o14式で定義します

X, Y を用いて計算したマトリックスAを%o15式に示します
Aの固有値問題における固有値は主曲率（principal curvature）を与えます
（主曲率は2つで，最大値をk1，最小値をk2とします）

【平均曲率】

H = (k1+k2)/2 を平均曲率（mean curvature）と呼びます
ということでtr(A)/2を計算した結果を%o16式に示します
ここで∂z/∂x, ∂z/∂y が十分に小さく，2次の項が無視できるとすると%o17式を得ます

【ガウス曲率】

K = k1*k2 をガウス曲率（Gaussian curvature）と呼びます
ということでdet(A)を計算した結果を%o18式に示します
ここで∂z/∂x, ∂z/∂y が十分に小さく，2次の項が無視できるとすると%o19式を得ます