ルジャンドル多項式

今回はルジャンドル多項式（Legendre polynomial）のお話です
ルジャンドルの微分方程式の一般解に対して”λが非負整数かつ[1, 1]に確定点を持つ”という条件を課すことで与えられます
Gauss積分の所でこの多項式を内挿関数に使っていますね

legendre.wxm

n次のルジャンドル多項式P(n)は二項係数を用いて%o1式で表されます

%i1にてパッケージ"interpol"をロードします（画面出力は省略）
legendre_p関数を使って P(1)〜P(5) を計算した結果を示します(%t4〜8)

%t4〜8式を x = -1〜1の範囲でプロットします(%t9)
これより [1, 1]に確定点を持つことが解ります→P(n)|(x=1) = 1

ルジャンドル多項式が持つ性質の一つとして，”閉区間[−1, 1]上のL2-内積に関して直交する”というものがあります
%o10式に示す内積の積分を 10 x 10 まで具体的に計算した結果が%o11式となります
これより%o10式が直交性を持つこと，対角成分は正規化されておらず 2/(2*n+1) となることが判ります