剛体回転による座標変換

剛体回転を与える線形変換は構造力学やFEMで頻繁に出てきます
ここで導出の過程を示します(´-`).。oO

coordinate transformation matrix.wxm

e[1]〜e[3] : 剛体回転前の基底ベクトル
e'[1]〜e'[3] : 剛体回転後の基底ベクトル

いま基底ベクトルe[1]〜e[3]をe[3]軸周りにα[rad]回転させる変換を考えます
変換前の基底ベクトルを%o2〜%o4式に,変換後を%o5〜%o7式に示します
(e[3]軸周りの回転なので e'[3] = e[3] となります)



X : 位置ベクトル(eで計量)
R : 剛体回転
Xを剛体回転した後に計量し直すと%o8式となります
これをXについて係数マトリックスを括ったものが%o9式で,剛体回転を表します



Rによって実際に基底ベクトルの変換 e → e' が行われることを%o10〜12式で示します

  • 剛体回転は直交テンソル(orthogonal tensor)であり,転置と逆が等しくなります(%i13)
  • %i13式より自明ですが,R.R^Tは単位テンソルを与えます(%o14)