計量テンソル

前回の共変・反変基底ベクトルの流れで，計量テンソル（metric tensor）についても簡単に触れておきたいと思います

metric tensor.wxm

ベクトルの外積を%o1式で，共変・反変基底ベクトルの成分を%o2〜3式でそれぞれ定義します（画面出力は省略）
スカラー三重積を%o4式で，反変基底ベクトルを%o5〜7式でそれぞれ定義します（画面出力は省略）

いま任意のベクトルaの成分を%o8式で代入します
aをgの線型結合として%o9式に示します（成分計算が正しいことを%o10で確認します）
このa.G[i]をaの反変成分（contravariant component）と呼びます
同様に，aをGの線型結合として%o11式に示します（成分計算が正しいことを%o12で確認します）
このa.g[i]をaの共変成分（covariant component）と呼びます

いま任意のテンソルAの成分を%o14式で代入します
Aをgの線型結合として%o15式に示します（成分計算が正しいことを%o16で確認します）
同様に，AをGの線型結合として%o17式に示します（成分計算が正しいことを%o18で確認します）

ということで，任意のベクトルやテンソルを基底ベクトルで計量する際の共変成分・反変成分は，それぞれ共変基底ベクトル，反変基底ベクトルとの内積をとることにより求まることが解ります

基底ベクトル自身の内積より%o20および%o22式で計量テンソルの定義を示します
定義より自明ですが計量テンソル同士の内積は単位テンソルとなります（%o23）

正規直交基底ベクトル（%o24〜26）の計量テンソルはどちらも単位テンソルに一致します（%o28）

非線形有限要素法のためのテンソル解析の基礎