ABC予想
今回はABC予想（abc conjecture）のお話です
2012年8月30日，京都大学の望月新一教授がABC予想を証明したとする論文を公開されました
この論文はABC予想の解決に宇宙際タイヒミュラー理論（IUT理論）が用いられており，今現在も査読中です
氏のblog”新一の「心の一票」”を読むとサーベイ作業は肯定的に終わっており，雑誌の最終査読報告書の提出が待たれます
IUT理論は革新的で大変難解な理論ですが，ABC予想自体はとても分り易いためmaximaで数値検証してみます
【abc予想】
a + b = c を満たす互いに素な自然数の組（a, b, c）（abc-triple）に対し，積 abc の根基(radical)を d と表す
このとき任意の ε > 0 に対して c > d^(1+ε) を満たす組（a, b, c）（例外的abc-triple）は高々有限個しか存在しない
abc conjecture.wxm
ABC予想の命題である不等式を%o1に示します
ここで根基は引数（自然数）の互いに異なる素因数の積を返す関数radとして%o2で定義します
ε= 0 として c < 10^4 の範囲で例外的abc-tripleがいくつあるか調べてみます
N：c の探索上限
abc-triple 15195742個 に対して例外的abc-tripleは 120個 となります
比率としては10^-5のorderであり十分小さいのですが，例外的abc-tripleを見てみると
a = 1 に対して，b = 8( = 3^2-1) や b = 80( = 3^4-1)，b = 6560( = 3^8-1) が見て取れます
ε= 0 の場合では (a = 1, b = 3^2^n-1, c = 3^2^n) のすべてのnについて例外的abc-tripleが無限に存在することが判っています
なのでABC予想は ε > 0 に対して述べられた命題となっています
ε= 0.4 として計算し直すと例外的abc-tripleは 120 → 3個まで減少します
ちなみに「ε= 1 とすると例外的abc-tripleは存在しない」という予想（強いabc予想）もあります
追記
2020年4月3日、京都大数理解析研究所の専門誌「PRIMS」に掲載されることが決まったとのことです
査読が通過するまで実に８年もの時間がかかってしまったことからも証明の難解さが伺えますね
