巡回群

以前群論について群 その1や群 その2で簡単に触れましたが，今回は巡回群（cyclic group）について触れてみたいとおもいます

方程式 x^n = 1 の解を複素平面上にプロットすると正n角形が作図されます
（これは正17角形の作図可能性で扱ったのと全く同じ内容です）

cyclic group.wxm

いま n に5を代入します（%o1）（画面出力は省略）
%o2式に示す5次方程式の解を考えます
上式をxについて解いた結果を%o3式に示します
これらの解（1の複素5乗根）を複素平面上にプロットした結果を%t7に示します

解の一つを適当に選んでgとします（%o8）
このgを元の方程式の解集合Gに順次掛けていきます（G0→G1→G2→G3→G4）
ここでgは複素平面における回転変換に相当し，G5 = G0 となり巡回することが判ります

解集合Gの1番目の解（g = %e^(2*%i*%pi/5)）について考えます（%t11）
複素平面上の1に対してgを1回掛けた結果は原点まわりに2*%pi/5[rad]回転した赤点となります
これに順次gを掛けていくと青線を辿って巡回していき，5回目で元の1に戻ります
5乗すると1になるのはgが方程式x^5 = 1の解なので当然ですね
余談ですが，この"5"をgの位数(order)と呼びます

同様にして，
2番目の解（g = %e^(4*%i*%pi/5)）は4*%pi/5[rad]の回転（%t12）
3番目の解（g = %e^-(4*%i*%pi/5)）は-4*%pi/5[rad]の回転（%t13）
4番目の解（g = %e^-(2*%i*%pi/5)）は-2*%pi/5[rad]の回転（%t14）
5番目の解（g = 1）は0(= 2*%pi)[rad]の回転（%t15）を，それぞれ表します

ということで，1の複素5乗根が乗法に関して巡回群を成すことを示しました

追記
複素平面におけるこのような巡回群はU(1)と呼ばれます
通常の実平面における同様の巡回群はSO(2)と呼ばれます
SO(2)とU(1)は同型（isomorphism）です