群 その2

前回に引き続いて群のお話です
構造力学に関係のありそうな具体的な演算について，群の定義を満足するかどうかをmaximaで確認してみます

group2.wxm

ベクトルの平衡移動について考えます
平面上のベクトルaの成分を%o1式で定義します(3番目の成分の"1"はダミーです)
e1方向にΔ1，e2方向にΔ2だけ平衡移動させる線形変換Pを%o2式で定義します
P.a はベクトルなので閉じています(%o3)
結合法則が成り立ちます(%o4)
単位元（単位行列 I）が存在します(%o5, 6)
逆元（P^-1）が存在します(%o7, 8)
ここで，P^-1はPの反対方向への平衡移動に相当します

ということで，ベクトルの平衡移動は群を成します

ベクトルの鏡像反転について考えます
ベクトルaの成分を%o9式で定義します
e2-e3平面に対して鏡像反転させる線形変換Mを%o10式で定義します
M.a はベクトルなので閉じています(%o11)
結合法則が成り立ちます(%o12)
単位元（単位行列 I）が存在します(%o13, 14)
逆元（M^-1）が存在します(%o15, 16)
ここで，M^-1はM自身であり，2回の操作で基に戻ることが分かります

ということで，ベクトルの鏡像反転は群を成します

ベクトルの回転変換について考えます
e3軸周りにθ[rad]だけ回転させる線形変換Rを%o17式で定義します
R.a はベクトルなので閉じています(%o18)
結合法則が成り立ちます(%o19)
単位元（単位行列 I）が存在します(%o20, 21)
逆元（R^-1）が存在します(%o22, 23)
ここで，R^-1はRの逆周り-θ[rad]の回転変換に相当します

ということで，ベクトルの回転変換は群を成します

シュヴァレー リー群論 (ちくま学芸文庫)