群その1 - Maximaでこうぞうりきがく

今回は群(group)のお話です
集合Gの元g, h, kに対しての二項演算"・"を考えた時，以下の4つの条件を満たす場合に"群"を成すと言います

演算に関して集合が閉じている → g・h∈G
結合法則が成り立つ → g・(h・k) = (g・h)・k
単位元 e が存在する → g・e = e・g = g
逆元 g^-1 が存在する → g・g^-1 = g^-1・g = e

構造力学に関係のありそうな具体的な演算について，群の定義を満足するかどうかをmaximaで確認してみます
group1.wxm

実数a, bの加法について考えます
a + b は実数なので閉じています(%o1)
結合法則が成り立ちます(%o2)
単位元（0）が存在します(%o3)
逆元（-a）が存在します(%o4)

ということで，実数の加法は群を成します

実数a, bの乗法について考えます
a * b は実数なので閉じています(%o5)
結合法則が成り立ちます(%o6)
単位元（1）が存在します(%o7)
逆元（1/a）が存在します(%o8)
一見良さそうですが，1/a は a≠0でなければ成り立たないので0の逆元は存在しません

ということで，"0を除く"実数の乗法は群を成します

x→p*x+qの線形変換について考えます（p, qは実数，p≠0 ）
a(x)〜c(x)を%o9〜11式で定義します
a(b(x))の計算結果は p = a1*b1, q = a1*b0+a0 とそれぞれ実数なので p*x+q の形となり，閉じています(%o12)
結合法則が成り立ちます(%o13)
単位元（z(x) = x）が存在します(%o14,15)
a(x)の逆元（y(x) = x/a1-a0/a1）が存在します(%o16〜18)