スネルの法則

以前二点間の最短経路は直線になるというお話をしました（変分法 その1）
移動速度が異なる境界を跨ぐ場合，最短経路はどうなるか？というのが今回のお話です

今、2点A, Bの間に境界Oがあり、Oを挟んだ各領域の移動速度をそれぞれv1, v2とします
各領域内の経路が直線になるのは解っていますので，O上の点Xを通るとしてこれが最短経路となる場合を考えます
snell's law.wxm

点A, BおよびXの座標を適当に入力します（%i1〜3）
辺AX, 辺XBの距離をそれぞれ%o4, 5に示します
A→X→Bまでの移動にかかる時間Tを%o6に示します
フェルマーの原理より，Tをxで微分して求めた停留条件を%o7式に示します

AX, XBの角度をそれぞれθ1, θ2とすると%o8, 9を得ます
上2式を用いて%o7式を書き換えます（%o10）
左辺第1項を移項してまとめると%o11を得ます

この式をスネルの法則（Snell's law）あるいは屈折の法則と呼びます

適当な値を代入して具体的にプロットしてみます（%i12〜16）
比較のため，A→Bの直線経路をp1に代入します（%o17）
find_root関数でxを求めた結果を用いてA→X→Bの経路をp2に代入します（%o18）
p1を青線，p2を赤線として%t19にプロットします（凡例のnはv2/v1の意）
ここで x軸（y = 0）が境界Oを表しています

追記
スネルの法則は一般に２媒質間の光の伝播速度と入射角・屈折角の関係として説明されますヽ( ´ー`)ノ