ネイピア数

以前友人とお酒の席でオイラーの公式やネイピア数は何がすごいのか？という話が出たのでここで触れてみますヽ( ´ー`)ノ
ネイピア数は自然対数の底（base of natural logarithm）として扱われます
napier.wxm

fpprecは多倍長浮動小数点の有効桁数で，ここで64としておきます（デフォルト値は16）
ネイピア数eを%o2式に示します
eを底とする指数関数exp(x)を%o3式に示します
これを0点周りで（12次まで）テイラー展開すると%o4式を得ます
余談ですが，0点周りのテイラー展開を特にマクローリン展開（Maclaurin expansion）と呼びます

この%o4式がすごいんです（'A`)
何がすごいかというと，これをxで連続微分したものを%o5〜%o9式に示します
表示されている最高次項は落ちていきますが，展開式はまったく変化しません
実際のeは冪（べき）級数なので，exp(x)は微分操作に対して（もちろん不定積分に対しても）不変であることが解ります

eの定義として，%o4式を x = 1 とした場合を考えます
このn次に対応する項は%o10式で与えられます
eはこれを無限に総和したものに相当しますが，次数の増加に対して係数が急速に縮小していくことが解ります
実際に高々48次までの項の総和を%o11式に示しますが，非常に良い近似を与えます