振動する板のたわみ関数

以前4辺単純支持板の固有振動数を求める際に一次モードの板のたわみ関数を与えました
それどうやって決めたの？というのが今回のお話です

長さa*bの板について考えます
deflection_curved_surface.wxm

%i1にてパッケージ"to_poly_solver"をロードします（画面出力は省略）
x方向の板のたわみ関数w1(x)を任意の調和振動関数（%o2）で仮定します
同様に，y方向の板のたわみ関数w2(y)を任意の調和振動関数（%o3）で仮定します
板のたわみ関数w(x, y)をw1とw2の積（%o4）で仮定します

4辺単純支持板の境界条件を適当に指定します

• x = 0 の辺のたわみが 0 (%o5)
• x = a の辺のたわみが 0 (%o6)
• y = 0 の辺のたわみが 0 (%o7)
• y = b の辺のたわみが 0 (%o8)

ここで，w1(0) = 0 の式は w(0, y) = 0 の恒等式と同じニュアンスだと思って下さい
上4式を連立方程式としてto_poly_solve関数を使ってω1, ω2, A および C について解いた結果を%o9式に示します
解は%unionオブジェクト内のリストで返ってくるためpart関数で1番目の解を取り出します
ここで%z12は任意の整数を表すので適当に0とした解を%o10式に示します
この解で%o4式を書き直したものを%o11式に示します（B*Dは任意の振幅）
定数が意味もなく増えるのもアレなので一個に書き直したものを%o12式に示します（Xは任意の振幅）

ということで，4辺単純支持板の一次モードを表す式が求まりました