4辺単純支持板の固有振動数

今回は4辺単純支持板の面外一次モードの振動を考えます
板のサイズを a*b，単純曲げ変形のみとし，D は一定とします
frequency_simply-plate.wxm

w : 板のたわみ関数
Xt : 時間発展を表す関数
w が位置 x, y と時間 t の関数であること，Xt が t の関数であることをそれぞれ%o1, %o2式で宣言します（画面出力は省略）
連続体の板の運動方程式を%o3式に示します
板の運動方程式の導出については運動方程式とラグランジアン その6を参照ください

Xm : モードを表す関数
%o4式にて，w を x, y の関数と t の関数の積で表します（変数分離）
Xm に4辺単純支持板の一次モードを表す具体的な式を代入します（%o6）
上式を元の運動方程式に戻して計算した結果を%o7式に示します
上式が有意な解を持つための条件として%o8式が与えられます

Xt に, 角振動数がωとなる適当な調和振動関数を代入します（%o9）
上式を%o8式に戻して計算した結果を%o10式に示します
この方程式をωについて解いた結果を%o11式に示します
solve:以下の文言は目に見える解だけが全てではないと我々に警告してくれています，ありがたいことです（'A`)
固有振動数 N とωの関係式を%o12式に示します
上式に%o11式を代入してまとめた結果を%o13式に示します

ということで，4辺単純支持板の一次の固有振動数が得られます